Le voltage n'indique pas forcément que la batterie est en bonne santé, juste qu'elle "conserve" sa charge.
Mais rien ne dis qu'elle arrive à délivrer de la puissance derrière. Typiquement, ça m'était arrivé, où comme toi je voyais le voltage nickel et ne comprenait pas.
Jusqu'au moment où...j'ai simplement vérifié la même valeur, mais avec le simple contact de mis.
En gros, tu dois passer de 12.6/12.7 à quelque chose comme 12.4, car des voyants s'allument, les phares aussi, ... sans que le moteur tourne.
Et moi, BOUM, ça tombait direct à 11V.
En gros, y'a des volts, mais y'a pas d'ampère !
Et ça bah c'est la conséquence / signe d'une batterie 100% HS !
Testes ça déjà, pour voir, mais tous les symptomes que tu décrits ressemblent fortement à ce genre de problème quand même.